====== Démonstration de la limite de Betz ======

===== Hypothèses =====
  * L'étude est réalisée dans un référentiel $R$ lié au sol et supposé galiléen
  * L'air est considéré comme un fluide parfait, homogène et incompressible de masse volumique $\rho$
  * On suppose que le mouvement de l'air est stationnaire et à symétrie de révolution autour de l'axe de rotation de l'hélice
===== Puissance cinétique =====


Calculons maintenant la masse d'air déplacée en amont du rotor par unité de temps : 

$$
\dot{m}=S.v_1.\rho
$$

$\rho$ étant la masse volumique de l'air exprimée en kg/m<sup>3</sup>

La puissance cinétique de cette masse d'air est donc égale à  :

$$
\dot E_{c1}=\dfrac{1}{2}.\dot{m}.v_1^2
$$

$$
\dot E_{c1}=\dfrac{1}{2}.S.v_1.\rho.v_1^2 
$$

$$
\dot E_{c1}=\dfrac{1}{2}.S.\rho.v_1^3
$$

Nous procédons de la même façon pour calculer $E_{c2}$, la puissance cinétique en aval du rotor

$$
\dot E_{c2}=\dfrac{1}{2}.S.\rho.v_2^3
$$


<note important>
Rmq 1. Par conservation de la masse, la section $S$ ne devrait pas être la même en amont et en aval. On doit en effet avoir u1 S1 = u2 S2 ($\rho$ étant constante).
</note>

===== Variation d’énergie cinétique =====

La variation d’énergie cinétique par unité de temps de la masse d'air qui passe au travers le rotor est donc égale à (en remplaçant la densité de l’air par sa valeur
moyenne) :

$$
\Delta E_{c}=E_{c2}-E_{c1}
$$

$$
\Delta \dot E_{c}=\dfrac{1}{2}.\dot{m}.v_2^2-\frac{1}{2}.\dot{m}.v_1^2
$$

$$
\Delta \dot E_{c}=\dfrac{1}{2}.\dot{m}.(v_2^2-v_1^2)
$$


$$
\Delta \dot E_{c}=\dfrac{1}{2}.\rho.S.v_{avg}.(v_2^2-v_1^2)
$$

<note important>
Rmq 2. En comparant les 2 dernières lignes de cette section, on trouve $v_{avg}$ = m'/($\rho$ $S$). Or, d'après la 1ère équation de la section précédente, cela donne $v_1$, vitesse à l'amont. C'est en contradiction avec la formule de $v_{avg}$ obtenue à la fin de la section suivante.
</note>
===== Puissance absorbée par le rotor =====

Calculons maintenant l'énergie absorbée par le rotor.
La variation de la quantité de mouvement de la veine de vent entre l'amont et l'aval du rotor s'exprime par la relation vectorielle : 

$$
\vec{P}=m.(\vec{v_1}-\vec{v_2})
$$

Avec
$$
\dot m=\rho.S.v_{avg}
$$

La variation de quantité de mouvement par unité de temps de la veine de vent entre l'amont et l'aval du rotor vaut donc :

$$
\frac{d\vec{P}}{dt}=\rho.S.v_{avg}.(\vec{v_1}-\vec{v_2})
$$

Nous pouvons en déduire que la puissance perdue par la veine de vent et donc absorbée par le rotor est égale à :\\

$$
P=\vec{P}\cdot\vec{v_{avg}}=\rho.S.v_{avg}^2.(v_1-v_2)
$$ en admettant que les vitesses du vent en amont et en aval du rotor ont la même direction.

Or nous savons que cette puissance est égale à l’opposé de la variation d’énergie cinétique par unité de temps soit : \\
$$
P=-\frac{d\Delta E_{c}}{dt}
$$
En remplaçant $P$ et $\Delta E_{c}$ par leurs expressions trouvées précédemment, nous avons l'égalité suivante : \\
$$
\rho.S.v_{avg}^2.(v_1-v_2)=-\dfrac{1}{2}.\rho.S.v_{avg}.(v_2^2-v_1^2)
$$
en développant l'identité remarquable du type a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup> nous avons

$$
v_{avg}.(v_1-v_2)=-\dfrac{1}{2}.(v_2-v_1).(v_2+v_1)
$$

Nous pouvons en déduire l'expression de $v_{avg}$\\

$$
v_{avg}=\dfrac{v_1+v_2}{2}
$$

<note important>
rmq 3. En fait ces développements ne sont pas nécessaires. Il suffit de dire que la puissance absorbée par le rotor est égale à la différence de charge multipliée par le débit massique (celui-ci étant constant entre l'amont et l'aval en vertu de la conservation de la masse, cf. Rmq 1). Donc $P$ = $\rho$ Q (u1^2 - u2^2), où Q = u S = Cste est le débit volumique (désolé pour la non conformité du style mathématique, le rendu Latex ne fonctionne pas bien dans les commentaires).

Il faut par contre faire une hypothèse sur la formule de $v_{avg}$, la moyenne arithmétique étant une expression raisonnable.

A noter que l'expression de $v_{avg}$ présentée ci-dessus est en contradiction avec la section 1, comme explicité dans la Rmq 2.
</note>
===== Puissance maximale =====

[{{ :ratio.gif?300|Energie maximale}}]

Déterminons maintenant $v_2$ pour que la puissance $W$ soit maximale
$$
P=\rho.S.v_{avg}^2.(v_1-v_2)
$$
En remplaçant $v_{avg}$ par son expression calculée précédemment nous avons 

$$
P=\rho.S.\frac{(v_1+v_2)^2}{4}.(v_1-v_2)
$$

$$
P=\rho.S.\dfrac{v_1+v_2}{4}.(v_1^2-v_2^2)
$$
La puissance $P$ est maximale pour une vitesse $v_2$ telle que sa dérivée première s'annule et que sa dérivée seconde est négative.

$$
\dfrac{dW}{dv_2}=0
$$

soit\\

$$
\dfrac{d(\rho.S.(-v_2^3-v_1.v_2^2+v_1^2.v_2+v_1^3))}{dv_2}=0
$$

C'est-à-dire 

$$
-3v_2^2-2v_1.v_2+v_1^2=0
$$
On résout cette équation du second degré et d’inconnue $v_2$

$$
\Delta=(-2v_1)^2-4.(-3)v_1^2=16.v_1^2=(\pm 4v_1)^2
$$

Nous avons 2 solutions possibles 
$$
v_2=\dfrac{2v_1+4v_1}{-6} < 0
$$ cette solution est impossible
\\ ou \\ 
$$
v_2=\dfrac{2v_1-4v_1}{-6}=\dfrac{v_1}{3}
$$

$P$ est donc maximale pour $v_2 $ égal à $\dfrac{1}{3}v_1 $

On vérifiera que la dérivée seconde est bien alors négative.

===== Calcul de la puissance maximale =====
Nous savons que
$$
v_{avg}=\dfrac{v_1+v_2}{2}
$$
Donc d’après la valeur maximale de $v_2 $

$$
v_{avg}=\frac{2}{3}.v_1
$$

En reportant $v_{avg}$ et $v_2$ dans l'expression de $P$ on obtient :

$$
P=\rho.S.\left(\dfrac{2v_1}{3}\right)^2.\left(v_1-\dfrac{v_1}{3}\right)
$$

D’où 

$$
P_{max}=\rho.S.v_1^3.\dfrac{8}{27}
$$
 

===== Calcul du coefficient d'énergie maximal=====
Nous savons que la puissance récupérable du vent s'exprime par 

$$
P=C_p.\dfrac{1}{2}\cdot \rho\cdot S\cdot .v_1^3
$$

Nous pouvons donc écrire $P_{max}$ sous cette forme, soit

$$
P_{max}=\rho.S.v_1^3.\dfrac{8}{27}=\dfrac{16}{27}.\dfrac{1}{2}.\rho\cdot S\cdot v_1^3
$$

Par identification nous en déduisons la valeur de $C_p=\dfrac{16}{27} \approx 0,59$, nous retrouvons la limite de Betz, nous venons donc de la démontrer.

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===== Voir aussi =====
  * [[eolienne_etude_theorique|étude théorique d'une éolienne]]